Question

已知拋物線y=x²﹣（k+2）x+和直線y=（k+1）x+（k+1）²．

（1）求證：無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；

（3）如果拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，直線AD交直線CE于點G（如圖），且CA•GE=CG•AB，求拋物線的解析式．

Answer 1

（1）證明：∵△=（k+2）²﹣4×1×=k²﹣k+2=（k﹣）²+，

∵（k﹣）²≥0，

∴△＞0，

∴無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）解：∵拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，

∴x₁•x₂=，

令0=（k+1）x+（k+1）²，

解得：x=﹣（k+1），

即x₃=﹣（k+1），

∴x₁•x₂•x₃=﹣（k+1）•=﹣（k+）²+，

∴x₁•x₂•x₃的最大值為：；

（3）解：∵CA•GE=CG•AB，

∴，

∵∠ACG=∠BCE，

∴△CAG∽△CBE，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠AOD=∠BOE，

∴△OAD∽△OBE，

∴，

∵拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，

∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）²，

∴OA•OB=OD，

∴，

∴OB²=OE，

∴OB=k+1，

∴點B（k+1，0），

將點B代入拋物線y=x²﹣（k+2）x+得：（k+1）²﹣（k+2）（k+1）﹣=0，

解得：k=2，

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+3．