Question

7．如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連接AC，AD，OD，其中AC=CD，過點B的切線交CD的延長線于E．
（1）求證：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長．（用含π的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質、平行線的性質證明即可；
（2）連接BD，根據弦、弧、圓心角的關系得到∠CAD=∠CDA=∠OAD=30°，根據圓周角定理得到∠DOB=60°，根據切線的性質得到∠OBE=90°，利用弧長公式計算即可．

解答 （1）證明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠OAD，
∴∠CDA=∠ODA，即DA平分∠CDO；
（2）解：連接BD，
∵AC=CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA=∠OAD=90°×$\frac{1}{3}$=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD是等邊三角形，
∴$\widehat{BD}$的長為：$\frac{60π×6}{180}$2π，
∵BE是⊙O的切線，
∴∠OBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∵CD∥AB，∠OBE=90°，
∴∠E=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3，BE=BD•cos∠DBE=3$\sqrt{3}$，
∴圖中陰影部分的周長為3+3$\sqrt{3}$+2π．

點評 本題考查的是切線的性質、弧長的計算，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．