Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為（4，0），（0，6），直線AD交BC于點D．tan∠OAD=2，拋物線過A，D兩點．

（）求點D的坐標和拋物線M1的表達式．

（）點P是拋物線M1對稱軸上一動點，當∠CPA=90°時，求所有滿足條件的點P的坐標．

（）如圖，點E（0，4），連接AE，將拋物線M1的圖象向下平移m(m>0)個單位得到拋物線M2．

①設點D平移后的對應點為點D'，當點D'恰好落在直線AE上時，求m的值．

②當時，若拋物線M2與直線AE有兩個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）D（1，6），拋物線M1的表達式為y＝﹣2x2+8x；（2）（2，3+），（2，3﹣）；（3）①m＝3，②2+≤m＜

【解析】

（1）如圖1中，作DH⊥OA于H．則四邊形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出點D坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖1﹣1中，設P（2，m）．由∠CPA＝90°，可得PC2+PA2＝AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，解方程即可；

（3）①求出D′的坐標；②構建方程組，利用判別式△＞0，求出拋物線與直線AE有兩個交點時的m的范圍；③求出x＝m時，求出平移后的拋物線與直線AE的交點的橫坐標；結合上述的結論即可判斷．

解：（1）如圖1中，作DH⊥OA于H．則四邊形CDHO是矩形．

∵四邊形CDHO是矩形，

∴OC＝DH＝6，

∵tan∠DAH＝＝2，

∴AH＝3，

∵OA＝4，

∴CD＝OH＝1，

∴D（1，6），

把D（1，6），A（4，0）代入y＝ax2+bx中，則有，

解得，

∴拋物線M1的表達式為y＝﹣2x2+8x．

（2）如圖1﹣1中，設P（2，m）．

∵∠CPA＝90°，

∴PC2+PA2＝AC2，

∴22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，

解得m＝3±，

∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．

（3）①如圖2中，

易知直線AE的解析式為y＝﹣x+4，

x＝1時，y＝3，

∴D′（1，3），

平移后的拋物線的解析式為y＝﹣2x2+8x﹣m，

把點D′坐標代入可得3＝﹣2+8﹣m，

∴m＝3．

②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m＝0，

當拋物線與直線AE有兩個交點時，△＞0，

∴92﹣4×2×（4+m）＞0，

∴m＜，

當x＝m時，﹣m+4＝﹣2m2+8m﹣m，解得m＝2+或2﹣（舍去），

綜上所述，當2+≤m＜時，拋物線M2與直線AE有兩個交點．