Question

（12分）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標（3，3），將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數；并判斷線段OG、PG、BP之間的數量關系，說明理由.

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）PG=OG+BP，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可證△AOG≌△ADG；

（2）利用（1）的方法，同理可證△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度數；根據兩對全等三角形的性質，可得出線段OG、PG、BP之間的數量關系；

（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，當∠1=∠2時，可證∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，確定P、G兩點坐標，得出直線PE的解析式．

試題解析：（1）∵∠AOG=∠ADG=90°，

在Rt△AOG和Rt△ADG中，∵AO=AD，AG-AG，∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）PG=OG+BP．理由如下：

由（1）同理可證△ADP≌△ABP，則∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，

∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．

考點：全等三角形的判定與性質．