Question

已知線段a和直角∠α：
（1）用尺規作△ABC，使得∠C=∠α，BC=a，AB=2a（保留作圖痕跡，不寫畫法）；
（2）用尺規作△ABC的中線CD和角平分線CE（保留作圖痕跡，不寫畫法）；
（3）求出∠DCE的度數．

Answer 1

解：（1）如圖所示，△ABC即為所求作的三角形，
[評分標準：∠C；線段BC=a，AB=2a（各1分）]；

（2）如圖所示，CD為即為所求作的中線，CE即為所求作的角平分線；
[評分標準：中線；角平分線]；

（3）∵CE是角平分線，
∴∠ACE=×90°=45°，
∵AB=2a，BC=a，∠C=90°，
∴∠A=30°，
∵CD是中線，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°．
分析：（1）延長線段a得到2a長的線段，然后作一直角，在一邊上截取CB=a，然后以點B為圓心，以2a長為半徑畫弧，與另一直角邊相交于點A，連接AB，則△ABC即為所求作的三角形；
（2）以點B為圓心，以a為半徑畫弧交AB于點D，則點D為AB的中點，然后連接CD即為中線，以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，與BC、AC分別相交，再以這兩點為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點C與這一點作射線交AB于點E，則CE為所求作的角平分線；
（3）根據角平分線的定義可得∠ACE=45°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠A=30°，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，根據等邊對等角的性質可得∠ACD=30°，再根據∠DCE=∠ACE-∠ACD計算即可得解．
點評：本題主要考查了復雜作圖，作一個角是直角，作一條線段等于已知線段，以及已知線段的2倍，角平分線的作法，都是基本作圖，需熟練掌握并靈活運用．