Question

如圖所示，△ABC的面積為16，AB=4，D為AB上任一點，F為BD的中點，DE∥BC，FG∥BC，分別交AC于E、G，設AD=x．
（1）把△ADE的面積S₁，用含x的代數式表示；
（2）把梯形DFGE的面積S₂，用含x的代數式表示．

Answer 1

分析：（1）先由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，根據相似三角形面積之比等于相似比的平方得出

S1

S△ABC

=（

AD

AB

）²，即可求出S₁=x²；
（2）先由FG∥BC，得出△AFG∽△ABC，根據相似三角形面積之比等于相似比的平方得出

S△AFG

S△ABC

=（

AF

AB

）²，化簡得出S_△AFG=

x2+8x+16

4

，再根據S₂=S_△AFG-S₁即可求解．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S1

S△ABC

=（

AD

AB

）²，即

S1

16

=（

x

4

）²，
∴S₁=x²；

（2）∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴

S△AFG

S△ABC

=（

AF

AB

）²，
∵F為BD的中點，
∴DF=BF=

1

2

（4-x），
∴AF=AD+DF=x+

1

2

（4-x）=

1

2

（4+x），
∴

S△AFG

16

=（

4+x 2

4

）²，
∴S_△AFG=

x2+8x+16

4

，
∴S₂=S_△AFG-S₁=

x2+8x+16

4

-x²=-

3

4

x²+2x+4．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，線段中點的定義，難度適中．利用相似三角形面積之比等于相似比的平方是解題的關鍵．