Question

已知，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC．
（1）如圖：若C為∠AOB內一點，探究∠MON與∠AOB的數量關系；
（2）若C為∠AOB外一點，且C不在OA、OB的反向延長線上，請你畫出圖形，并探究∠MON與∠AOB的數量關系．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的定義得到∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，然后利用∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC即可得到∠MON=

1

2

∠AOB；
（2）分類討論：直線OA和OB把平面分成四個部分，（1）中討論了一個部分，然后再其他三個部分進行討論：如圖1，由于∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，利用∠MOC-∠NOC=

1

2

∠AOC-

1

2

∠BOC即可得到∠MON=

1

2

∠AOB；如圖2，由于∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，利用∠NOC-∠MOC=

1

2

∠BOC-

1

2

∠AOC即可得到∠MON=

1

2

∠AOB；如圖3，由于∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，利用∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

（360°-∠AOB）即可得到∠MON=180°-

1

2

∠AOB．

解答：解：（1）∵OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOB，
即∠MON=

1

2

∠AOB；
（2）如圖1，∵OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠MOC-∠NOC=

1

2

∠AOC-

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOB，
即∠MON=

1

2

∠AOB；
如圖2，∵OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠NOC-∠MOC=

1

2

∠BOC-

1

2

∠AOC=

1

2

∠AOB，
即∠MON=

1

2

∠AOB；
如圖3，∵OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

（360°-∠AOB）
即∠MON=180°-

1

2

∠AOB．

點評：本題考查了角平分線的定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．