Question

已知AM是⊙O的直徑，B是⊙O上一點，過點B作BN⊥AM，垂足為N，其延長線交⊙O于點M，弦CD交AM于點E．
（1）通過適當的變換使得CD⊥AB，求證：EN=MN；
（2）弦CD交AB于點F，且CD=AB，求證：CE²=EF•ED；
（3）若弦CD、AB的延長線交于點F，且CD=AB，那么（2）中的結論是否仍然成立？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）求證EN=NM，只要證明△NEC≌△NMB即可；
（2）求證CE²=EF•ED，只需證△FEB∽△BED根據相似三角形的對應邊成比例即可求得結論；
（3）成立．求證CE²=EF•ED，只需證△BDE∽△FBE，根據相似三角形對應邊成比例即可得到結論．

解答：（1）證明：如圖1，連接BM，
∵AM是⊙O的直徑，
∴∠ABM=90°．
∵CD⊥AB，
∴BM∥DC．
∴∠NBM=∠NCE．
∵ON是弦心距，
∴BN=NC，
在△NEC和△NMB中，

∠ENC=∠MNB ∠M=∠C BN=NC

，
∴△NEC≌△NMB（ASA）．
∴EN=NM．

（2）證明：如圖2，連接AC，BE，BD．
∵CD=AB，
∴

ADB

=

DBC

，
∴

AD

=

BC

，
∴∠ACD=∠BDC．
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠BDC=∠ABE，∠BEF=∠BEF．
∴△FEB∽△BED．
∴EF•DE=BE²=CE²．

（3）如圖3，（2）的結論仍成立．
證明：∵AM⊥BC，
∴BE=CE，AB=AC．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AB=CD，
∴∠4=∠DBC．
∴∠3=∠DBC=∠2+∠5．
又∵∠3=∠F+∠1，
∴∠F=∠5．
∵∠BED=∠FEB，
∴△BDE∽△FBE．
∴BE：EF=ED：BE_，
∴BE²=EF•ED．
∴CE²=EF•ED．

點評：考查圓心角、弧、弦的關系，相似三角形的判定，垂徑定理的運用．