Question

【題目】在平面直角坐標系中，己知O為坐標原點，點，以點A為旋轉中心，把順時針旋轉，得.

（Ⅰ）如圖①，當旋轉后滿足軸時，求點C的坐標.

（Ⅱ）如圖②，當旋轉后點C恰好落在x軸正半軸上時，求點D的坐標.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊上的一點P旋轉后的對應點為，當取得最小值時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）點P坐標.

【解析】

（Ⅰ）如圖①中，作CH⊥x軸于H．根據旋轉的性質和三個角是直角的四邊形是矩形得出四邊形ADCH是矩形，利用矩形的性質即可解決問題；
（Ⅱ）如圖②中，作DK⊥AC于K．在Rt△ADC中，求出DK、AK即可解決問題；
（Ⅲ）如圖③中，連接PA、AP′，作點A關于y軸的對稱點A′，連接DA′交y軸于P′，連接AP′．由題意PA=AP′，推出AP′+PD=PA+PD，根據兩點之間線段最短，可知當點P與點P′重合時，PA+PD的值最小．只要求出直線A′D的解析式即可解決問題；

解：（Ⅰ）如圖①中，作軸于H.

∵，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

∴

（Ⅱ）如圖②中，作于K.

在中，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

（Ⅲ）如圖③中，連接PA、AP′，作點A關于y軸的對稱點A′，連接DA′交y軸于P′，連接AP′．

由題意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根據兩點之間線段最短，可知當點P與點P′重合時，PA+PD的值最小．

，

∴直線A′D的解析式為 ，

點P坐標