Question

a是不為1的有理數，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數．如：2的差倒數是

1

1-2

=-1，-1的差倒數是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a1=

1

3

，a₂是a₁的差倒數，a₃是a₂的差倒數，a₄是a₃的差倒數，…，依此類推，則a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：由已知，a₂是a₁的差倒數，a₃是a₂的差倒數，a₄是a₃的差倒數，…，則a₂=

1

1-a1

，a₃=

1

1-a2

，a₄=

1

1-a3

，…，把a₁=

1

3

代入

1

1-a1

求出a₂的值，用同樣的方法分別求出a₃，a₄，…的值，從中找出規律．

解答：由已知，a₁=

1

3

a₂=

1

1-a1

=1÷（1-

1

3

）=

3

2

．
a₃=

1

1-a2

=1÷（1-

3

2

）=-2．
a₄=

1

1-a3

=

1

1-(-2)

=

1

3

=a₁．
則a₅=a₂=

3

2

．
…
得出3 個數一循環．
2009÷3=669…2．
所以a₂₀₀₉=a₂=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：此題考查了學生觀察問題分析問題的能力以及探究規律的培養，解答問題的關鍵是由已知先計算出前面幾個數找出規律．