Question

（2013•燕山區(qū)一模）如圖（1），兩塊等腰直角三角板ABC和DEF，∠ABC=∠DEF=90°，點C與EF 在同一條直線l上，將三角板ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α≤90°）得到△A′B′C．設(shè)EF=2，BC=1，CE=x．

（1）如圖（2），當α=90°，且點C與點F重合時，連結(jié)EB′，將直線EB′繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線A′D于點M，請補全圖形，并求證：A′M=DM．
（2）如圖（3），當0°＜α＜90°，且點C與點F不重合時，連結(jié)EB′，將直線EB′繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線A′D于點M，求

A′M

DM

的值（用含x的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AE，利用△ABC和△DEF是等腰直角三角形證得Rt△MA'E∽Rt△B'FE，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等求得線段A′M的長后即可求得線段DM的長，從而證得A'M=DM；
（2）過點B'作B'G⊥B'E交直線EM于點G，連結(jié)A'G，證得△A'B'G≌△CB'E，利用全等三角形對應(yīng)角相等證得A'G∥DE，從而得到

A′M

DM

=

A′G

DE

=

x

2

．

解答：解：（1）補全圖形如右圖（1）：
如圖（2），連結(jié)AE，
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴A′C=AC=

2

，DF=2

2

，∠EFB'=90°．
∴A′D=DF-A′C=

2

，
∴點A'為DF的中點．
∴EA'⊥DF，EA'平分∠DEF．
∴∠MA'E=90°，∠A'EF=45°，A′E=

2

．
∵∠MEB'=∠A'EF=45°，
∴∠MEA'=∠B'EF，
∴Rt△MA'E∽Rt△B'FE，
∴

A′M

B′F

=

A′E

EF

，
∴A′M=

2

2

，
∴DM=A′D-A′M=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴A'M=DM．                                   

（2）如圖（3），過點B'作B'G⊥B'E交直線EM于點G，連結(jié)A'G．
∵∠EB'G=90°，∠B'EM=45°，
∴∠B'GE=45°．
∴B'E=B'G．
∵∠A'B'C=∠EB'G=90°，
∴∠A'B'G=∠CB'E．
在△A'B'G和△CB'E中

B′E=B′G ∠A′B′G=∠CB′E B′A=B′C

．
∴△A'B'G≌△CB'E（SAS）．          
∴A'G=CE=x，∠A'GB'=∠CEB'．
∵∠A'GB'+∠A'GM=∠CEB'+∠DEM=45°，
∴∠A'GM=∠DEM，
∴A'G∥DE．
∴

A′M

DM

=

A′G

DE

=

x

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，考察的知識點比較多，難度較大，解答本題之前一定要將圖形畫出來，這樣可以使我們的思考方向更準確一些，另外要求我們熟練掌握各個基礎(chǔ)知識點的內(nèi)容．