Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判斷△ABC的形狀： ；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）當點P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．

Answer 1

【答案】(1)、等邊三角形；(2)、CP=BP+AP；證明過程見解析；(3)、當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大，最大值為.

【解析】

試題分析：(1)、根據三角形的判定得出等邊三角形；(2)、在PC上截取PD=AP，得出△APD是等邊三角形，然后證明△APB和△ADC全等，從而得出BP=CD，然后得出答案；(3)、將四邊形的面積轉化成△ABP和△ABC的面積之和，然后根據兩個三角形同底，要使面積最大，則就需要滿足高最大，則當CP是直徑時最大.

試題解析：(1)、△ABC是等邊三角形

(2)、在PC上截取PD=AP，如圖1， 又∵∠APC=60°，∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD，又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP

(3)、當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大．

理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E． 過點C作CF⊥AB，垂足為F．

∵S△APE=ABPE，S△ABC=ABCF，∴S四邊形APBC=AB（PE+CF），

當點P為的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑， ∴此時四邊形APBC的面積最大．又∵⊙O的半徑為1，

∴其內接正三角形的邊長AB=， ∴S四邊形APBC=×2×=．