Question

如圖，直線EF交⊙O于A、B兩點，AC是⊙O直徑，DE是⊙O的切線，且DE⊥EF，垂足為E．
（1）求證：AD平分∠CAE；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，得出∠OAD=∠ODA，再證明∠EAD=∠ODA，得出結論；
（2）連接CD，證明△AED∽△ADC，根據勾股定理和相似三角形的性質求出半徑．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，（1分）
∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE=90°，OD⊥DE，（1分）
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，（1分）
∴∠ODA=∠DAE，
∴∠DAE=∠OAD，
∴AD平分∠CAE；（2分）

（2）解：連接CD，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ADC=90°，（1分）
在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，
∴根據勾股定理得：AD=cm，（1分）
由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△AED，
∴，（1分）即，
∴AC=10，（1分）
∴⊙O的半徑是5．（1分）
點評：本題考查了切線的性質及相似三角形的判定和性質，重在知識相互間的聯系．