Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為的中點，P是直徑MN上一動點.

(1)利用尺規作圖，確定當PA+PB最小時P點的位置(不寫作法，但要保留作圖痕跡).

(2)求PA+PB的最小值.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；(2)2.

【解析】試題分析：(1)畫出A點關于MN的稱點A′,連接A′B,就可以得到P點；

(2)利用∠AMN=30°得∠AON=∠A′ON=60°，又B為弧AN的中點,∴∠BON=30°，所以∠A′OB=90°，再求最小值2．

試題解析：

(1)如圖，點P即為所求作的點.

(2)由（1）可知，PA+PB的最小值為 A′B的長，

連接OA′,OB、OA，

∵A點關于MN的稱點A′，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=60°，

又∵B為的中點

∴ ，

∴∠BON=∠AOB=∠AON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵MN=4，

∴ OA′=OB= MN=2，

在Rt△A′OB中，A′B==2 ，

即PA+PB的最小值為2.