Question

如圖，在半徑為4的圓O中，AB，CD是兩條直徑，M是OB的中點，CM的延長線交圓O于點E，設DE＝(a＞0)，EM＝x．

(1)用含x和a的代數式表示MC的長，并試證·x＋12＝0；

(2)當a＝15且EM＞MC時，求sin∠EOM；

(3)根據圖形寫出EM長的取值范圍；

(4)試問，在上是否存在一點E，使EM的長是關于x的方程－·x＋12＝0的相等的實根，如果存在，求出sin∠EOM的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為CD為圓O直徑，所以∠DEC＝， 　　因為＝，MC＝EC－EM＝－x． 　　又因為由相交弦定理EM·MC＝AM·MB＝12，所以MC＝，，整理，得＋12＝0． 　　(2)當a＝15時，方程為－7x＋12＝0，解得＝4． 　　因為EM＞MC，所以EM＝4，MC＝3，由半徑OE＝4， 得△EOM為等腰三角形． 　　作EF⊥OM于F，則OF＝FM＝1，由勾股定理EF＝＝，Rt△EOF中，sin∠EOM＝． 　　(3)根據圖形不難看出MB＜EM＜MA，所以2＜EM＜6． 　　(4)假設上存在一點E，使EM的長是方程·x＋12＝0的相等實根，由Δ＝－4×12＝0，得到64－a＝48． 　　所以方程． 　　因為2＜EM＝2＜6，所以在上存在滿足條件的點E，使EM＝2． 　　因為＝4，所以＝． 　　所以△EOM為Rt△，∠OME＝．