Question

如圖，線段AB經過圓心O，交⊙O于點A、C，∠BAD=∠B=30°，邊BD交圓于點D．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAD=30°，OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°．
在Rt△BOD中，∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠BDO=90°．
∴BD是⊙O的切線；

（2）作OE⊥AD，
∵∠DAB=30°，AO=2，
∴AE=2cos30°=2×=，
∴根據垂徑定理，AD=2×=2．
分析：（1）因為D在圓上，所以證∠BDO=90°即可．
（2）作OE⊥AD與AD，構造直角三角形AEO，再利用解直角三角形的知識解答．
點評：本題考查了切線的判定定理和垂徑定理，①掌握切線的判定定理：經過半徑外端且垂直于該半徑的直線是圓的切線．②掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．