Question

【題目】如圖，在邊長為3的正方形中，點是邊上的點，，；且交正方形外角的平分線于點，交邊于點.

（1）求證：AE=EP；

（2）在邊上是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，見解析.

【解析】

(1)在AB上取BN=BE,根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△ANE≌△ECP,從而得到AE=EP;

(2)先證△DAM≌△ABE，再證，進而可得四邊形DMEP是平行四邊形.

（1）

證明:在AB上截取

BN=BE,如圖所示

∵四邊形ABCD為正方形,

∴AB=BC.∠B=90°

∴AN=EC,∠1=∠2=45°

∴∠4=135°

∵CP為正方形ABCD的外角平分線,

∴∠PCB=135°

∴∠PCB=∠4.

∵∠AEP=90°

∴∠BEA+∠3=90°

∵∠BAE+∠BEA=90°

∴∠3=∠BAE

∴△ANE≌△ECP

∴AE=EP;

（2）存在.

如圖，作且與交于點，則有.連結(jié)、，過作于.可證得，從而，所以,

依題意可設(shè)，由（1）知，得，則，所以，解得，則，于是，所以，則得，所以四邊形為平行四邊形.