Question

如圖，AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）當0B=6cm，OC=8cm時，求⊙O的半徑及MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證：MN是⊙O的切線，就可以證明∠NMC=90°
（2）連接OF，則OF⊥BC，根據勾股定理就可以求出BC的長，然后根據△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑，根據△NMC∽△BOC就可以求出MN的長．
解答：（1）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G
∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM（1分）
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°（2分）
∵MN∥OB
∴∠NMC=∠BOC=90°
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半徑
∴MN是⊙O的切線（4分）

（2）解：連接OF，則OF⊥BC（5分）
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC===10，
∵S_△BOC=•OB•OC=•BC•OF
∴6×8=10×OF
∴0F=4.8cm
∴⊙O的半徑為4.8cm（6分）
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC（7分）
∴，即=，
∴MN=9.6（cm）．（8分）
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．