Question

如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．
（1）判斷△OBC的形狀，并證明你的結論；
（2）求BC的長；
（3）求⊙O的半徑OF的長．

Answer 1

分析：（1）由切線長定理，易得∠OBE=∠OBF=

1

2

∠EBF，∠OCG=∠OCF=

1

2

∠GCF，又由AB∥CD，則可求得∠BOC=90°；
（2）由BO=6，CO=8，利用勾股定理即可求得BC的長；
（3）利用直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊的積除以斜邊，即可求得⊙O的半徑OF的長．

解答：（1）答：△OBC是直角三角形．
證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE=∠OBF=

1

2

∠EBF，∠OCG=∠OCF=

1

2

∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是直角三角形；

（2）解：∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，
∴BC=

BO2+CO2

=10；

（3）解：∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF=

BO•CO

BC

=

6×8

10

=4.8．

點評：此題考查了切線長定理、切線的性質、勾股定理以及直角三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．