Question

如圖，AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，且AB∥CD，連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N，OB=6cm，OC=8cm．
（1）求∠BOC的度數及⊙O的半徑．
（2）請證明MN是⊙O的切線，并求MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據平行線的性質得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，然后利用勾股定理計算出BC，再利用等積法計算出OF；
（2）由MN∥OB，而OB⊥OC，得到MN⊥OM，根據切線的判定即可得到MN為⊙O的切線；易證Rt△CMN和Rt△COB相似，利用相似比即可計算出MN的長．

解答：解：（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，
∴BC=

OB2+OC2

=

62+82

=10，
又∵

1

2

OF•BC=

1

2

OB•OC，
∴OF=

OB•OC

BC

=

6×8

10

=4.8（cm）；

（2）證明：如圖，
∵MN∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OM，
∴MN為⊙O的切線，
又∵∠MCN=∠OCB，
∴Rt△CMN∽Rt△COB相似，
∴CM：OC=MN：OB，即（4.8+8）：8=MN：6，
∴MN=9.6（cm）．

點評：本題考查了切線的判定與性質定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心與這點的連線平分兩切線的夾角．也考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質．