Question

如下圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C(1,0)，直線與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為(3,4)，B點在軸上.

   （1）求的值及這個二次函數的關系式；

（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E點，設線段PE的長為，點P的橫坐標為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1) ∵ 點A(3,4)在直線y=x+m上，

∴ 4=3+m.                              

∴ m=1.                               

        設所求二次函數的關系式為y=a(x-1)².     

        ∵ 點A(3,4)在二次函數y=a(x-1)²的圖象上，

        ∴ 4=a(3-1)²,

        ∴ a=1.       

∴ 所求二次函數的關系式為y=(x-1)².

   即y=x²-2x+1.                  

(2) 設P、E兩點的縱坐標分別為y_P和y_E .

∴ PE=h=y_P-y_E                      

       =(x+1)-(x²-2x+1) 

       =-x²+3x.                 

   即h=-x²+3x (0＜x＜3).              

(3) 存在.                         

解法1：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC.

∵ 點D在直線y=x+1上,

∴ 點D的坐標為(1,2),

∴ -x²+3x=2 .

即x²-3x+2=0 .                       

解之，得  x₁=2，x₂=1 (不合題意，舍去)   

∴ 當P點的坐標為(2,3)時，四邊形DCEP是平行四邊形.  

解法2：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有BP∥CE. 

設直線CE的函數關系式為y=x+b.

∵ 直線CE 經過點C(1,0),

∴ 0=1+b,

∴ b=-1 .

∴ 直線CE的函數關系式為y=x-1 .

∴    得x²-3x+2=0.      

解之，得  x₁=2，x₂=1 (不合題意，舍去)  

∴ 當P點的坐標為(2,3)時，四邊形DCEP是平行四邊形.