Question

（1）求證：

1

a(a+1)

=

1

a

-

1

a+1

；
（2）利用（1）的結論求下面式子的值：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+99)(x+100)

．

Answer 1

分析：（1）把等式的右邊計算后，得到左邊的式子，結論得證；
（2）根據（1）的結論把運算式展開，只剩下第一項和最后一項，再通分計算即可．

解答：（1）證明：∵

1

a

-

1

a+1

，
=

a+1

a(a+1)

-

a

a(a+1)

，
=

1

a(a+1)

，
左邊=右邊，
∴

1

a(a+1)

=

1

a

-

1

a+1

；

（2）解：原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+…+

1

x+99

-

1

x+100

，
=

1

x

-

1

x+100

，
=

x+100-x

x(x+100)

，
=

100

x(x+100)

．

點評：本題特點通過分式的加減運算得到另一分式，從而使結論得證，再根據結論的規律進行解答．