Question

已知如圖：平行四邊形ABCD中，各角的平分線相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析：根據平行四邊形性質得出AB∥CD，AD∥BC，根據平行線性質得出∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，根據角平分線定義求出∠HBC+∠HCB=

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（∠ABC+∠BCD）=90°，∠DCH+∠CDG=90°，∠ADF+∠DAF=90°，根據三角形內角和定理求出∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=90°，∠HGF=∠DGC=180°-（∠CDG+∠DCG）=90°，根據矩形判定推出即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵BH、CH、DF、AF分別平分∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB，
∴∠HBC=∠ABE=

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∠ABC，∠BCH=∠DCH=

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∠BCD，∠CDG=∠ADG=

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∠ADC，∠DAE=∠BAE=

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∠DAB，
∴∠HBC+∠HCB=

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（∠ABC+∠BCD）=90°，
同理∠DCH+∠CDG=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=90°，∠HGF=∠DGC=180°-（∠CDG+∠DCG）=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形性質，三角形的內角和定理，平行線性質，角平分線定義的應用，主要考查學生的推理能力．