Question

【題目】在中，，，是的角平分線，于點．

（1）如圖，連接，求證：是等邊三角形；

（2）點是線段上的一點（不與點重合），以為一邊，在的下方作，交延長線于點，請你在圖中畫出完整圖形，并直接寫出與之間的數量關系；

（3）如圖，點是線段上的一點，以為一邊，在的下方作，交延長線于點，試探究與數量之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=DG+DM；（3）AD=DGDN；理由見解析．

【解析】

（1）如解題所示，根據直角三角形的性質可得∠ABC=60°,BC=，然后根據等角對等邊可得DA=DB，再根據三線合一可得AE=BE=，從而證出結論；

（2）根據題意，畫出圖形，延長ED至W，使得DW=DM，連接WM，先證出△WDM是等邊三角形，然后利用ASA證出△WMG≌△DMB，從而得出WG=DB,然后利用等量代換即可得出結論；

（3）延長BD至H，使得DH=DN，連接HN，先證出△NDH是等邊三角形，然后利用ASA證出△DNG≌△HNB，從而得出DG=HB,然后利用等量代換即可得出結論；

（1）證明：如圖1所示：

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，

∴∠ABC=60°,BC=

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠DBA=∠A=30°．

∴DA=DB．

∵DE⊥AB于點E．

∴AE=BE=

∴BC=BE．

∴△EBC是等邊三角形；

（2）作圖如下，結論：AD=DG+DM．理由如下

延長ED至W，使得DW=DM，連接WM．

由(1)得DA=DB,∠A=30°．

∵DE⊥AB于點E．

∴∠2=∠3=60°．

∴∠4=∠2=60°，∠5=180°－∠2－∠3=60°

∴△WDM是等邊三角形．

∴WD=DM=WM,∠W=∠WMD=60°

∴∠W =∠5．

∴∠WMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG

即∠WMG=∠DMB．

在△WMG和△DMB中

∴△WMG≌△DMB (ASA)．

∴WG=DB．

∵WG= DG + WD = DG + DM，

∴DB= DG + DM．

∴AD= DG + DM．

（3）結論：AD=DGDN．

證明：延長BD至H，使得DH=DN，連接HN．

由(1)得DA=DB,∠A=30°．

∵DE⊥AB于點E．

∴∠2=∠3=60°．

∴∠4=∠5=60°

∴△NDH是等邊三角形．

∴NH=ND,∠H=∠6=60°

∴∠H=∠2．

∵∠BNG=60°

∴∠BNG+∠7=∠6+∠7

即∠DNG=∠HNB．

在△DNG和△HNB中

∴△DNG≌△HNB(ASA)．

∴DG=HB．

∵HB=HD+DB=ND+AD，

∴DG=ND+AD．

∴AD=DGND．