Question

（1）如圖（a），已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC、AD．求證：①∠BAD=∠CAG；②AC•AD=AE•AF；
（2）在問題（1）中，當直線l向上平行移動，與⊙O相切時，其他條件不變．
①請你在圖（b）中畫出變化后的圖形，并對照圖（a），標記字母；
②問題（1）中的兩個結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：
①連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠AGC=∠ADB=90°．
又∵ACDB是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠ACG=∠B．
∴∠BAD=∠CAG．
②連接CF，
∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB，
∴∠DAE=∠FAC．
又∵∠ADC=∠F，
∴△ADE∽△AFC．
∴．
∴AC•AD=AE•AF．

（2）①如圖；
②兩個結(jié)論都成立，證明如下：
①連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠AGC=90°．
∵GC切⊙O于C，
∴∠GCA=∠ABC．
∴∠BAC=∠CAG（即∠BAD=∠CAG）．
②連接CF，
∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，
∴∠GCF=∠CAE，∠ACF=∠ACG-∠GCF，∠E=∠ACG-∠CAE．
∴∠ACF=∠E．
∴△ACF∽△AEC．
∴．
∴AC²=AE•AF（即AC•AD=AE•AF）．
分析：（1）①可連接BD，由四邊形ACDB是圓的內(nèi)接四邊形得出∠DBA=∠ACG，根據(jù)等角的余角相等即可得出∠BAD=∠CAG，
②根據(jù)所求的比例線段可得出，要證的實際是△FAC和△DAE相似．根據(jù)圓周角定理可得出∠AFC=∠ADC．而由①得出的相等角可知，它們的補角也應相等，因此∠DAE=∠CAF，由此可得證．
（2）同（1）①的方法類似，只不過由圓內(nèi)接四邊形的外角得出的角相等變成了由弦切角定理得出．其他步驟一樣．（也可以連接OC，通過平行和等邊對等角來求證）
②方法同（1）②一樣，因此（1）中所求的結(jié)論均成立．
點評：考查圓周角定理，相似三角形的判定．要掌握這些性質(zhì)才能在解題的過程中靈活運用．