Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于點G，交BC于點H，CD與FE延長線交于D點，CD＝DH．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若H為BC中點，AB＝10，EF＝8，求CD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）要求證：DC是圓O的切線，只要證明OC⊥PC即可．

（2）先求出，CH=，FH=4+，進而判斷出△DHM∽△BHG，即可得出結論．

（1）連接OD、OC相交于M，

∵∠ACB＝90°，CO＝AO，

∴∠ACO＝∠CAO，∠CAO+∠B＝90°，∠B+∠BHG＝90°．

∴∠CAO＝∠BHG．

∵DC＝DH，

∴∠DCH＝∠DHC．

∴∠DCH＝∠ACO．

∴∠DCH+∠HCO＝∠ACO+∠OCH＝90°．

∴OC⊥PC．

即DC為切線．

（2）∵AB＝10，EF＝8，EF垂直AB，

∴EG＝4＝GF．

∴OG＝3，

∴BG＝2．

如圖1，

在Rt△BFG中，BF＝

∵H為BC中點，

∴BH＝CH，

設EH＝x，則FH＝8﹣x，HG＝4﹣x，

根據相交弦定理得，BHCH＝EHFH，

∴BH2＝x（8﹣x），

在Rt△BHG中，BH2﹣HG2＝BG2，

∴x（8﹣x）﹣（4﹣x）2＝4，

∴x＝4+（舍）或x＝4﹣，

∴HG＝，BH＝CH＝，FH＝4+，

過點D作DM⊥CH于M，

∵CD＝HD

∴MH＝CH＝

∵∠DHM＝∠BHG，∠DMH＝∠BGH＝90°，

∴△DHM∽△BHG，

∴，

∴，

∴DH＝，

∴CD＝．