Question

【題目】我們知道，任意一個大于1的正整數n都可以進行這樣的分解：n=p+q（p、q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p、q兩數的乘積最大，我們就稱p+q是n的最佳分解，并規定在最佳分解時：F（n）=pq．例如6可以分解成1+5，2+4，或3+3，因為1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．

（1）求F（11）的值；

（2）一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數被2除余1，前三位數被3除余2，前四位數被4除余3，…，一直到前N位數被N除余（N﹣1），我們稱這樣的數為“多余數”，如：236的第一位數2能被1整除，前兩位數23被2除余1，236被3除余2，則236是一個“多余數”．若一個小于200的三位“多余數”記為t，它的各位數字之和再加上1為一個完全平方數，請求出所有“多余數”中F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）F（11）=5×6=30；（2）所有“多余數”中F（t）的最大值為7225．

【解析】試題分析：（1）將11分解為1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，根據1×10<2×9<3×8<4×7<5×6即可求出F（11）的值；（2）找出小于200的三位“多余數”中的最大值，重復（1）的操作，即可找出所有“多余數”中F（t）的最大值．

試題解析：（1）11可以分解成1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，

∵1×10＜2×9＜3×8＜4×7＜5×6，

∴F（11）=5×6=30．

（2）小于200且各位數字之和再加上1為一個完全平方數的數有：195、186、177、170、168、161、159、152、143、134、125、120、116、111、107、102，

其中最大的“多余數”為170，

170可以分為1+169、2+168、…、84+86、85+85，

∵1×169＜2×168＜…＜84×86＜85×85，

∴F（170）=85×85=7225，

∴所有“多余數”中F（t）的最大值為7225．