Question

已知：A、B、C三點不在同一直線上．
（1）若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，
i）如圖①，當∠A=45°，R=1時，求∠BOC的度數和BC的長；
ii）如圖②，當∠A為銳角時，求證：sinA=；
（2）若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當∠MAN=60°，BC=2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）i）根據圓周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的長；
ii）作直徑CE，則∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；
（2）首先證明點A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．
解答：解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，
∵OB=OC=1，
∴BC=，
注：也可延長BO或過O點作BC的垂線構造直角三角形求得BC．

ii）證法一：如圖②，作直徑CE，則∠E=∠A，CE=2R，
∴∠EBC=90°
∴sinA=sinE=，
證法二：如圖③．連接OB、OC，作OH⊥BC于點H，
則∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC
∴sinA=sin∠BOH===，

（2）如圖④，連接AP，取AP的中點K，連接BK、CK，
在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，
同理得：BK=AK=PK，
∴CK=BK=AK=PK，
∴點A、B、P、C都在⊙K上，
∴由（1）ii）可知sin60°=
∴AP==（定值），
故在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離不變．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及解直角三角形和四點共圓等知識，根據已知得出點A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=是解題關鍵．