Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）若AP=，求△PFA的面積

Answer 1

(1)證明見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質就可以得出∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，就可以得出∠PAF=∠AEB，就可以得出△PFA∽△ABE；

（2）根據勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面積，由相似三角形的性質就可以求出結論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，

∴∠DAE=∠AEB．

∵PF⊥AE，

∴∠AFP=90°，

∴∠AFP=∠B

∴△PFA∽△ABE

（2）∵E是BC邊的中點，

∴BE=BC=2．

在Rt△ABE中，由勾股定理，得

AE=2．

∵△PFA∽△ABE，

∴．

∵S△ABE=，

∴

∴S△PFA=2．

答：△PFA的面積為2．

考點：1.相似三角形的判定與性質；2.正方形的性質．