Question

15．如圖，二次函數y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，該拋物線的頂點為M．
（1）求該拋物線的解析式及點M的坐標；
（2）判斷△BCM的形狀，并說明理由；
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數法求出該拋物線的解析式；
（2）根據B、C、M的坐標，可求得△BCM三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可；
（3）假設存在符合條件的P點；首先連接AC，根據A、C的坐標及（2）題所得△BDC三邊的比例關系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據相似三角形的性質（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標．

解答 解：（1）∵二次函數y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）△BCM為直角三角形，理由為：
對于拋物線解析式y=x²-2x-3=（x-1）²-4，即頂點M坐標為（1，-4），
令x=0，得到y=-3，即C（0，-3），
根據勾股定理得：BC=3$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，
∵BM²=BC²+CM²，
∴△BCM為直角三角形；
（3）若∠APC=90°，即P點和O點重合，如圖1，

連接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且$\frac{AO}{CO}$=$\frac{CM}{BM}$，
∴Rt△AOC∽Rt△MCB，
∴此時P點坐標為（0，0）．
若P點在y軸上，則∠PAC=90°，如圖2，過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，

∵Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{O{P}_{1}}{OA}$，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{O{P}_{1}}{1}$，
∴點P₁（0，$\frac{1}{3}$）．
若P點在x軸上，則∠PCA=90°，如圖3，過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，

∵Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AC}{A{P}_{2}}$，
即$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{A{P}_{2}}$，AP₂=10，
∴點P₂（9，0）．
∴符合條件的點有三個：O（0，0），P₁（0，$\frac{1}{3}$），P₂（9，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等知識，（3）題中能夠發現點O是符合要求的P點，是解決此題的突破口．