Question

如圖，點A在拋物線上，過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B，延長AO，BO分別與拋物線相交于點C，D，連接AD，BC，設點A的橫坐標為m，且m＞0。

（1）當m=1時，求點A，B，D的坐標；
（2）當m為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直；
（3）猜想線段AB與CD之間的數量關系，并證明你的結論。

Answer 1

解：（1））∵點A在拋物線上，且
∴
∵點B與點A關于y軸對稱
∴
設直線BD的解析式為y=kx
∴
∴
解方程組，得。
（2）當四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時，由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點A的縱、橫坐標相等，
這時，設A（a，a），代入，得a=4，∴A（4，4），
∴m=4
即當m=4時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直。
（3）線段CD=2AB
∵點A在拋物線，且
∴
得直線AO的解析式為
解方程組，得
由對稱性得點
∴
∴。