Question

12．已知在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，經過點A作一線段AE把矩形分成兩部分，一是直角梯形，一是直角三角形，若梯形和三角形的面積之比為3：1，則其周長之比為3-$\sqrt{2}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．

Answer 1

分析 根據題目的要求正確地作出圖形，首先利用面積之間的關系得到線段BE的長，然后利用勾股定理求得線段AE的長，再求出周長，求比即可．

解答 解：分兩種情況：
①如圖：設BE=x，則CE=6-x，
∵梯形的面積與直角三角形的面積之比為3：1，
∴$\frac{3（6+6-x）}{2}$：$\frac{3x}{2}$=3：1，
解得：x=3，
∴CE=3，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴L_梯形：L_{直角三角形}=（6+3+3+3$\sqrt{2}$）：（3+3+3$\sqrt{2}$）=3-$\sqrt{2}$；
②如圖1，設DE=x，則CE=3-x，
∵梯形的面積與直角三角形的面積之比為3：1，
∴$\frac{6（3+3-x）}{2}$：$\frac{6x}{2}$=3：1，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
∴L_梯形：L_{直角三角形}=（3+6+$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$）：（6+$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$）=$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$；
綜上所述：梯形和三角形的周長之比為3-$\sqrt{2}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．
故答案為：3-$\sqrt{2}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．

點評 本題考查了矩形的性質及勾股定理，解題的關鍵是根據不同的情況分類討論，此類題目是中考中的一個高頻考點．