Question

已知：如圖，BD是⊙O的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，過(guò)B點(diǎn)作BC∥PA交⊙O于C，連接AB、AC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半徑和AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弦切角定理得到∠1=∠C和平行線(xiàn)的性質(zhì)定理得到∠1=∠2，則∠2=∠C，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)切割線(xiàn)定理即可求得圓的半徑，要求AC的長(zhǎng)，只需求得AB的長(zhǎng)．根據(jù)直角三角形的勾股定理和AB：AD的值聯(lián)立求解．

解答：（1）證明：∵BC∥AP
∴∠1=∠2
∵PA切圓于點(diǎn)A
∴∠1=∠C
∴∠2=∠C
∴AB=AC

（2）解：∵PA²=PB•PD
即10²=5×（5+2×OB）
∴OB=

15

2

，∴⊙O的半徑為7.5
∵PDA∽△PAB
∴

AD

AB

=

PA

PB

=

10

5

=2
∵BD²=AB²+AD²，即15²=AB²+（2AB）²
∴AB=3

5

，即AC=3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了弦切角定理、切割線(xiàn)定理、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理．