Question

如圖1，圖2，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC邊上的兩個動點（與點A、B、C不重合），始終保持BD=CE．
（1）當點D、E運動到如圖1所示的位置時，求證：CD=AE．
（2）把圖1中的△ACE繞著A點順時針旋轉60°到△ABF
的位置（如圖2），分別連接DF、EF．
①找出圖中所有的等邊三角形（△ABC除外），并對其中一個給予證明；
②試判斷四邊形CDFE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證△BCD≌△CAE，即可得出；（2）①可得出BD=BF，∠ABF=60°；AF=AE，∠FAE=60°，所以，圖中有2個正三角形，分別是△BDF，△AFE；②可證得FD平行且等于EC，即可證得四邊形CDFE是平行四邊形．

解答：證明：（1）∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠B=∠ECA=60°，
又∵BD=CE，
∴△BCD≌△CAE，
∴CD=AE．

（2）①圖中有2個正三角形，分別是△BDF，△AFE．
由題設，有△ACE≌△ABF，
∴CE=BF，∠ECA=∠ABF=60°，
又∵BD=CE，
∴BD=CE=BF，
∴△BDF是正三角形，
∵AF=AE，∠FAE=60°，
∴△AFE是正三角形．

②四邊形CDFE是平行四邊形．
∵∠FDB=∠ABC=60°，
∴FD∥EC，
又∵FD=FB=EC，
∴四邊形CDFE是平行四邊形．

點評：本題主要考查了等邊三角形的判定與性質及平行四邊形的判定，知道有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形．