Question

如圖，已知P為正比例函數圖象上一點，PA⊥y軸，垂足為A，PB⊥OP，與x軸交于點B．
（1）你能得出OP²=PA•OB的結論嗎？說說你的理由．
（2）若P點的橫坐標為1，B點的橫坐標為5，求tan∠POB的值．
（3）求經過點P和點B的直線解析式．

Answer 1

分析：（1）先判斷出能得到結論，再結合圖形得到∠AOP與∠PBD都是∠POB的余角，求出△POA∽△OPB，即可得出OP²=PA•OB；
（2）先設出點P的坐標為（1，m），即可得出點A、B的坐標，再根據PC²=PA•BD和PB²=OB²-PO²分別得出PO、PB的值，即可求出答案；
（3）先作PD⊥x 軸，根據OP²=OD²+PD²=1+m² 得出m的值，從而求出點P的坐標為（1，2），再把點P和點B的坐標代入直線PB的解析式為y=kx+b即可求出答案；

解答：解：（1）能得到結論．
∵∠AOP與∠PBD都是∠POB的余角，
∴∠AOP=∠PBO，
又∠PAO=∠OPB=90°，
∴△POA∽△OPB，
∴

OP

PA

=

OB

OP

，
即：OP²=PA•OB；

（2）設點P的坐標為（1，m）則點A（0，m）、B（5，0），
∵PC²=PA•BD=1×5，
∴PO=

5

，
又PB²=OB²-PO²=5²-（

5

）²=20，
∴PB=2

5

，
∴tan∠POB=

PB

PO

=

2 5

5

=2．

（3）作PD⊥x 軸，垂足為D，則
OP²=OD²+PD²=1+m²，
∴（

5

）²=1+m²，
∴m=±2，
∴m=2，
∴點P的坐標為（1，2），
設直線PB的解析式為  y=kx+b 則有

2=k+b 0=5+b

解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

．

點評：此題考查了一次函數的綜合應用，解題時要根據所給的條件畫出圖形是解題的關鍵；是一道常考題型．