Question

【題目】如圖，拋物線（）與雙曲線相交于點、，已知點坐標，點在第三象限內，且的面積為3（為坐標原點）.

（1）求實數、、的值；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點使得為等腰三角形？若存在請求出所有的點的坐標，若不存在請說明理由.

（3）在坐標系內有一個點，恰使得，現要求在軸上找出點使得的周長最小，請求出的坐標和周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，，，，，；（3）

【解析】

（1）由點A在雙曲線上，可得k的值，進而得出雙曲線的解析式．設()，過A作AP⊥x軸于P，BQ⊥y軸于Q，直線BQ和直線AP相交于點M．根據=3解方程即可得出k的值，從而得出點B的坐標，把A、B的坐標代入拋物線的解析式即可得到結論；

（2）拋物線對稱軸為，設，則可得出；；．然后分三種情況討論即可；

（3）設M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐標．作B關于y軸的對稱點B'．連接B'M交y軸于Q．此時△BQM的周長最小．用兩點間的距離公式計算即可．

（1）由知：k=xy=1×4=4，

∴．

設()．

過A作AP⊥x軸于P，BQ⊥y軸于Q，直線BQ和直線AP相交于點M，則S△AOP=S△BOQ=2．

令：，

整理得：，

解得：，．

∵m＜0，

∴m=-2，

故．

把A、B帶入

解出：，

∴．

（2）

∴拋物線的對稱軸為．

設，則，，．

∵△POB為等腰三角形，

∴分三種情況討論：

①，即，解得：，

∴，；

②，即，解得：，

∴，；

③，即，解得：

∴；

（3）設．

∵，，，

∴，，．

∵，

∴

解得：，

∴．

作B關于y軸的對稱點B'坐標為：(2，-2)．

連接B'M交y軸于Q．此時△BQM的周長最小．

=MB'+MB

．