Question

三項式x²-x-2n能分解為兩個整系數一次因式的乘積
（1）若1≤n≤30，且n是整數，則這樣的n有多少個？
（2）當n≤2005時，求最大整數n

Answer 1

分析：（1）利用公式法求出x²-x-2n=0的根，將n從1至30代入開平方驗證，舍去不合題意得，得到最終n的取值及個數．
（2）觀察數列1，3，6，10，15，21，28，尋找規律，將基本規律的代數式代入求值．

解答：解：
（1）x²-x-2n=(x-

1+ 1+8n

2

)(x-

1- 1+8n

2

)（3分）
則應有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分）
相應解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）
故當1≤n≤30時，滿足條件的整數n有7個（10分）
（2）觀察數列1，3，6，10，發現
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4
故n=1+2+3+…+k≤2005
∴

(1+k)k

2

≤2005
驗證得當k=62時，n取最大值為1953（20分）

點評：本題考查因式分解的應用．解決（1）主要是通過公式法分解出因式，再將符合條件的n代入逐個驗證；（2）關鍵是觀察數列找到規律．