Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足為D．
（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）若AC=2，tan∠ABD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接OA，由于BA平分∠CBE，那么∠ABE=∠ABO，而∠ABO=∠BAO，易得∠BAO=∠ABD，結合AD⊥BE，易求∠BAO+∠BAD=90°，即∠DAO=90°，從而可證AD是⊙O切線；
（2）由于BC是直徑，那么∠BAC=90°，而∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，易得tan∠ABO=2，在Rt△ABC中，易求AB，進而可求BC．
解答：解：如右圖所示，連接OA．
（1）∵BA平分∠CBE，
∴∠ABE=∠ABO，
又∵∠ABO=∠BAO，
∴∠BAO=∠ABD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠BAD=90°，
即∠DAO=90°，
∴AD是⊙O切線；

（2）∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，
∴tan∠ABO=2，
在Rt△ABC中，AB==，
∴BC===5．
點評：本題考查了切線的判定、勾股定理、正切．解題的關鍵是連接OA，并求出AB．