Question

已知二次函數y₁=ax²+bx+1（a＞0），一次函數y₂=x．
（1）若二次函數y₁的圖象與一次函數y₂的圖象只有一個交點，求a與b之間的關系；
（2）若二次函數y₁的圖象與一次函數y₂的圖象只有一個交點，且這個交點的橫坐標是2，求a、b的值；
（3）若二次函數y₁的圖象與一次函數y₂的圖象有兩個交點（x₁，0）（x₂，0），且滿足x₁＜2＜x₂＜4，此時設函數y₁的對稱軸為x=x₀，求證：x₀＞-1．

Answer 1

分析：（1）將直線的解析式代入拋物線的解析式后，由根的判別式可以得出a與b之間的關系．
（2）將交點的橫坐標代入ax²+bx+1=x與（1）求出的a與b之間的關系式構成方程組就可以求出a、b的值．
（3）根據兩根的取值范圍代入函數的解析式建立兩個不等式，將其不等式進行變形求出對稱軸的表達式，從而可以得出需要證明的結論

解答：解：（1）由題意可知一元二次方程ax²+bx+1=x有兩個相等的根
∴△=（b-1）²-4a=0
a與b之間的關系便是（b-1）²=4a；

（2）若二次函數y₁的圖象與一次函數y₂的圖象只有一個交點，且這個交點的橫坐標是2
則 ax²+（b-1）x+1=0
有且僅有一解 x=2
4a+2b-1=0
∵（b-1）²=4a，
∴（b-1）²+2b-1=0
∴b²=0，
解得 b=0，
∴1=4a，
∴a=

1

4

，
故a=

1

4

，b=0；

（3）若二次函數y₁的圖象與一次函數y₂的圖象有兩個交點（x₁，0）（x₂，0），且滿足x₁＜2＜x₂＜4
則 ax²+（b-1）x+1=0 有兩不同實根x₁，x₂，且x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
故x=2時 ax²+（b-1）x+1＜0，x=4時 ax²+（b-1）x+1＞0
∴4a+2b-1＜0    ①
16a+4b-3＞0   ②
由②-①×3，得
4a-2b＞0
∴b＜2a
∵a＞0
∴

b

2a

＜1
∴-

b

2a

＞-1
∴y₁的對稱軸為x=x₀=-

b

2a

∴x₀＞-1．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了根的判別式在二次函數中的運用，根據拋物線與直線的交點確定字母系數的值，由交點坐標的范圍確定對稱軸的位置等多個知識點．