Question

如圖，∠ABC=90°，AB=BC．
（1）畫四邊形ABCD，使AD＞CD，且∠ADC=90°，再畫點B到AD的垂線段BE，垂足為E．
（2）在四條線段AE，BE，CD，DE中，某些線段之間存在一定的數量關系．請你寫出兩個等式分別表示這些數量關系（每個等式中含有其中的2條或3條線段），并任選一個等式說明等式成立的理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，作出以AC為直徑的⊙O，然后⊙O上選擇使AD＞CD的一點，連接AD、CD，根據直徑所對的圓周角是直角可知∠ADC=90°；以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AD相交于兩點，再以這兩點為圓心，以大于它們

1

2

長度為半徑畫弧，相交于一點，然后過這點與點B作線段BE即可；
（2）過點C作CF⊥BE于點F，先根據直角的關系得到∠ABE=∠BCF，然后利用角邊角證明△BFC與△AEB全等，然后根據全等三角形對應邊相等可得BE=CF，AE=BF，又四邊形CDEF為矩形，根據矩形的對邊相等，然后結合圖形即可得到線段之間的關系．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）DE=BE，BE-CD=AE．
理由如下：
過點C作CF⊥BE，垂足為F，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△BFC與△AEB中，

∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
又∵BE⊥AD，∠ADC=90°，CF⊥BE，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴DE=CF，EF=CD，
∴①DE=BE，
②又∵BE-EF=BF，
∴BE-CD=AE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，根據題意想到四邊形ABCD是圓內接四邊形并作出四邊形的外接圓是解題的關鍵．