Question

如圖所示，等腰直角△ABC中，∠C=90°，點D、E分別在邊AC、BC上，以BC為直徑的半圓E與以DA為半徑的半圓D相外切，設BC=6，圖中陰影部分的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：設⊙D的與AC的交點為F，與AB的交點為G，⊙E與AB的交點為H；首先連接DG、EH，由于△ABC是等腰Rt△，易證得△ADG和△BEH也是等腰Rt△，即∠ADG=∠FDG=90°，此時發現弓形FG和弓形AG正好完全相等，同理可證弓形BH和弓形CH的面積相等；所以圖中陰影部分的面積=△ABC的面積-△AFG的面積-△BHC的面積．而AD的長，可在△CDE中，由勾股定理求得，由此得解．
解答：解：如圖；設AD=x，則DC=6-x，DE=3+x；
Rt△CDE中，由勾股定理，得：
DC²+CE²=DE²，即（6-x）²+3²=（x+3）²；
解得x=2，即AD=DG=2．
∵△ABC是等腰Rt△，
∴∠A=∠B=45°；
故△ADG、△BEH也是等腰Rt△；
∴∠ADG=∠FDG=∠HEC=∠HEB=90°；
∴S_弓形AG=S_弓形GF，S_弓形CH=S_弓形BH；
∴S_陰影=S_△ABC-S_△AGF-S_△BHC
=×6×6-×6×3-×4×2
=5．
點評：此題看出扇形面積公式及陰影部分面積的拆分，用規則的圖形面積表示出不規則圖形的面積，解決此題的關鍵是能夠發現弓形AG、弓形FG以及弓形BH、弓形CH之間的幾何關系．