Question

如圖，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點，點C是在第一象限內此直線上的一個動點，以BC為直角邊作如圖所示的等腰直角三角形BCD，點E在過A、C、D三點的圓上，且DE⊥BD，連結CE、AD．
（1）找出圖中一對相似三角形（不再標記字母），并說明理由；
（2）在C的運動過程中，DE的長度是否改變？若不變，請求出DE的長；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理，同弧所對的圓周角相等，即可的到BAD=∠DEC，根據三角形外角的性質得出∠ABD=∠EDC，從而得到△ABD∽△EDC；
（2）根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）連接AC．
∵∠BAD與∠DEC是同弧所對的圓周角，
∴∠BAD=∠DEC，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∵DE⊥BD，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDC=∠BDC+∠BDE=45°+90°=135°，
∴∠ABD=∠EDC，
∴△ABD∽△EDC；

（2）DE的長度不變．
AB=

5

，
∵△ABD∽△EDC，
∴

DE

AB

=

DC

BD

，則DE=

2

2

AB=

10

2

．

點評：本題是圓周角定理與相似三角形的判定與性質的綜合應用，正確根據圓周角定理得到相等的角是關鍵．