Question

已知如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，過C作CD⊥x軸，垂足為D．
（1）求點A、B的坐標和AD的長；
（2）求過B、A、D三點的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了直線AB的解析式，令解析式的y=0，可得出A點的坐標．令x=0，可得出B點的坐標．由于∠BAC=90°且AB=AC，可證得△AOB≌△COA，由此可得出OB=AD，OA=CD，由此可求出AD的長；
（2）在（1）中不難得出D點的坐標，然后根據A、B、D三點坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）對于直線y=-2x+2，
令x=0，求得y=2，即B（0，2）；令y=0，求得x=1，即A（1，0），
∵∠BAC=90°，
∴∠ABO=∠CAD=90°-∠OAB，
在△ABO和△CAD中，

∠AOB=∠CDA=90° ∠ABO=∠CAD AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=BO=2；

（2）設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x-m）（x-n）
由（1）可得：D點坐標為（3，0），又A（1，0），B（0，2）
∴

m=1 n=3 2=a(0-m)(0-n)

，
解得：

a= 2 3 m=1 n=3

，
∴所求解析式為y=

2

3

（x-1）（x-3）
即y=

2

3

x²-

8

3

x+2．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定等知識．