Question

（2012•五通橋區模擬）甲題：已知關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²的兩實數根為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設y=x₁+x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．
乙題：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AD的中點，連接BE交AC于點F，BE的延長線交CD的延長線于點G．
（1）求證：

GE

GB

=

AE

BC

；
（2）若GE=2，BF=3，求線段EF的長．

Answer 1

分析：甲題：（1）根據一元二次方程有兩個實數根，判別式△≥0列式求解即可；
（2）利用根與系數的關系表示出y與m的函數關系，再根據一次函數的增減性解答；
乙題：（1）根據AD∥BC可得△GED和△GBC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列出比例式

GE

GB

=

DE

BC

，再根據中點定義可得AE=DE，等量代換即可得證；
（2）根據AD∥BC可得△AEF和△CBF相似，再根據相似三角形對應邊成比例可得

AE

BC

=

EF

BF

，然后設EF=x，與（1）的結論聯立得到關于x的方程求解即可．

解答：甲題：解：（1）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²的兩實數根，
∴x²-2（1-m）x+m²=0，
∵△=b²-4ac=[-2（1-m）]²-4m²=4-8m≥0，
∴m≤

1

2

；

（2）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，即x²-2（1-m）x+m²=0，
∴x₁+x₂=2-2m，
∴y=x₁+x₂=-2m+2，
∵-2＜0，
∴y隨m的增大而減小，
∵m≤

1

2

，
∴當m=

1

2

時，y有最小值y=-2m+2=1；

乙題：證明：（1）∵AD∥BC，
∴△GED∽△GBC，
∴

GE

GB

=

DE

BC

，
∵點E是邊AD的中點，
∴AE=DE，
∴

GE

GB

=

AE

BC

；

（2）∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴

AE

BC

=

EF

BF

，
由（1）得：

GE

GB

=

AE

BC

，
∴

GE

GB

=

EF

BF

，
設EF=x，∵GE=2，BF=3，
∴

2

5+x

=

x

3

，
整理得，x²+5x-6=0，
解得x₁=1，x₂=-6（不合題意，舍去），
∴EF=1．
故答案為：1．

點評：甲題考查了一元二次方程根的判別式與根與系數的關系，比較簡單，①△＞0，一元二次方程有兩個不相等的實數根，②△=0，一元二次方程有兩個相等的實數根，③△＜0，一元二次方程沒有實數根；
乙題考查了相似三角形的判定與性質，由平行線判定相似三角形是最常用的方法，（2）利用中間量

AE

BC

得到比例式然后整理出一元二次方程是解題的關鍵．