Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于B，直線AB的解析式為y＝﹣x+3．

（1）求拋物線解析式；

（2）P為線段OA上一點(diǎn)（不與O、A重合），過P作PQ⊥x軸交拋物線于Q，連接AQ，M為AQ中點(diǎn)，連接PM，過M作MN⊥PM交直線AB于N，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，連接QN并延長交y軸于E，連接AE，求t為何值時，MN∥AE．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）Nx＝3﹣＝（0＜t＜3）；（3）2．

【解析】

（1）求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）如圖1中，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，NH⊥GM，于H．首先證明N、P、A三點(diǎn)在以M為圓心MA為半徑的⊙M上，再根據(jù)△NMH≌△MPG，得到NH＝MG，HM＝PG，即可解決問題；

（3）如圖2中，MN∥AE，QM＝MA，得EN＝QN，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程即可解決問題．

解：（1）∵直線AB的解析式為y＝﹣x+3，

∴A（3，0），B（0，3），

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A點(diǎn)，B點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖1中，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，NH⊥GM，于H，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠PAN＝45°，

∵∠NMP＝90°，

∴∠PAN＝∠NMP，

∴N、P、A三點(diǎn)在以M為圓心MA為半徑的⊙M上，

∴MN＝MP，

∵∠NHM＝∠PGM＝∠NMP＝90°，

∴∠NMH+∠PMG＝90°，∠PMG+∠MPG＝90°，

∴∠NMH＝∠MPG，

∴△NMH≌△MPG，

∴NH＝MG，HM＝PG，

∵P（t，0），

∴Q（t，﹣t2+2t+3），M（，），

∴PG＝MH＝﹣t＝，HG＝+＝，

∴Ny＝，

∵點(diǎn)N在直線AB上，

∴Ny＝﹣Nx+3，

∴Nx＝3﹣＝（0＜t＜3）；

（3）如圖2中，

∵MN∥AE，QM＝MA，

∴EN＝QN，

∴＝，

∴t2﹣2t＝0，

解得t＝2或0（舍棄），

∴t＝2時，MN∥AE．