Question

（2012•北塘區二模）如圖，矩形ABCD在平面直角坐標系xOy中，BC邊在x軸上，點A（-1，2），點C（3，0）．動點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿AD向點D運動，到達點D后停止．把BP的中點M繞點P逆時針旋轉90°到點N，連接PN，DN．設P的運動時間為t秒．
（1）經過1秒后，求出點N的坐標；
（2）當t為何值時，△PND的面積最大？并求出這個最大值；
（3）求在整個過程中，點N運動的路程是多少？

Answer 1

分析：（1）首先證明△BAP∽△PQN進而得出

AB

QP

=

AP

NQ

=

BP

NP

=2，利用A，C坐標得出PQ=1，NQ=

1

2

，即可得出答案；
（2）首先表示出NQ=

t

2

，PD=4-t，再利用△PND的面積為y=

1

2

•

t

2

(4-t)進而利用二次函數最值求出即可；
（3）求出P點在A，D兩點時N點位置，再利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）當t=1時，AP=1，過點N作NQ⊥AD于點Q，
∵把BP的中點M繞點P逆時針旋轉90°到點N，
∴∠BPN=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，
∵∠PQN=90°，
∴∠QPN+∠QNP=90°，
∴∠APB=∠QNP，
又∵∠A=∠PQN=90°，
∴△BAP∽△PQN，
∴

AB

QP

=

AP

NQ

=

BP

NP

=2，
∴PQ=1，NQ=

1

2

，
∴N（1，

3

2

）；

（2）當點P運動時間為t秒時，
∵點A（-1，2），點C（3，0），
∴NQ=

t

2

，PD=4-t，
∴△PND的面積=y=

1

2

•

t

2

(4-t)=-

t2

4

+t=-

1

4

（t-2）²+1，
當t=2時，y最大，
y_最大=1．

（3）因為PQ=1，AP=t，點A（-1，2），
所以N（t，2-

t

2

），
當t=0時，2-

t

2

=2；則N點坐標為（0，2），
當t=4時，2-

t

2

=0，則N′點坐標為（4，0），并且點N沿直線y=2-

t

2

運動，
所以：點N運動的路程是：NN′=

42+22

=2

5

．

點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應用以及二次函數最值問題等知識，正確利用數形結合得出N點移動路線是解題關鍵．