Question

【題目】如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，拋物線y=x2+bx+c經過點A，B，交正x軸于點D，E是OC上的動點（不與C重合）連接EB，過B點作BF⊥BE交y軸與F

（1）求b，c的值及D點的坐標；

（2）求點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積有怎樣的規律性？并證明你的結論；

（3）連接EF，BD，設OE=m，△BEF與△BED的面積之差為S，問：當m為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）b=，c=2；D點坐標為（3，0）．（2）點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積不變；（3）當m=2﹣時S最小為0．

【解析】

試題分析：（1）把點A，B代入拋物線y=x2+bx+c求得b、c即可，y=0，建立方程求得點D；

（2）四邊形OEBF的面積不變，利用三角形全等證得結論即可；

（3）用m分別表示出兩個三角形的面積，求差探討得出答案即可．

試題解析：（1）把點A（0，2）、B（2，2）代入拋物線y=x2+bx+c得

解得b=，c=2；

∴y=x2+x+2；

令x2+x+2=0

解得x1=﹣1，x2=3

∴D點坐標為（3，0）．

（2）點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積不變；

∵四邊形OABC是正方形

∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°

又∵BF⊥BE

∴∠FBE=90°

∴∠ABF=∠CBE

∴△ABF≌△BCE

∴四邊形OEBF的面積始終等于正方形OABC的面積．

（3）如圖，

可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC

=（2+2+m）×2﹣m（2+m）﹣（2﹣m）×2

=﹣m2+m+2

S△BED=×（3﹣m）×2

=3﹣m

兩個三角形的面積差最小為0，

即3﹣m=﹣m2+m+，

解得m=2±，

∵E是OC上的動點

∴m=2﹣，

當m=2﹣時S最小為0．