Question

如圖①，直線AB與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．OA、OB的長度分別為a和b，且滿足a²-2ab+b²=0．
（1）判斷△AOB的形狀．
（2）如圖②，正比例函數y=kx（k＜0）的圖象與直線AB交于點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據a²-2ab+b²=0，可得a=b，又有∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形狀；
（2）根據已知條件先證明△AOM≌△OBN，可得ON與OM的長，由MN=ON-OM即可得出答案．

解答：解：（1）∵OA、OB的長度分別為a和b，且滿足a²-2ab+b²=0，∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AOM=∠OBN=90°-∠NOB
∴在△AOM和△OBN中

AO=OB ∠AOM=∠OBN ∠OMA=∠BNO

∴△AOM≌△OBN
∴ON=AM=9OM=BN=4（全等三角形對應邊相等）
∴MN=ON-OM=9-4=5．

點評：本題考查了一次函數的綜合知識及全等三角形的判定，難度適中，關鍵是掌握三角形全等的判定方法．