Question

觀察下列單項式：-x，3x²，-5x³，7x⁴，…，-37x¹⁹，39x²⁰，…寫出第n個單項式．為了解決這個問題，特提供下面解題思路：
（1）這組單項式的系數的符號規律是______，系數的絕對值規律是______；
（2）這組單項式的次數的規律是______；
（3）根據上面的歸納，可以猜想第n個單項式是（只能填寫一個代數式）______；
（4）請你根據猜想，寫出第2008個、第2009個單項式，它們分別是______，______．

Answer 1

解：數字為-1，3，-5，7，-9，11，…，為偶數且偶次項為負數，可得規律：
（-1）ⁿ（2n-1）；
字母因數為x，x²，x³，x⁴，x⁵，x⁶，…，可得規律：xⁿ，于是得：
（1）（-1）ⁿ（或：負號正號依次出現；），2n-1（或：從1開始的連續奇數）；即
（-1）ⁿ（2n-1）xⁿ；

（2）易得，這組單項式的次數的規律是從1開始的連續自然數．

（3）（-1）ⁿ（2n-1）xⁿ．

（4）把n=2008、n=2009直接代入解析式即可得到：4015x²⁰⁰⁸；-4017x²⁰⁰⁹．
分析：所有式子均為單項式，先觀察數字因數，可得規律：（-1）ⁿ（2n-1），再觀察字母因數，可得規律為：xⁿ；然后代入求值即可．
點評：解答此題的關鍵是根據所給的單項式找出其系數與次數的規律，再根據題意解答．