Question

【題目】小華思考解決如下問題：

原題：如圖1，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求證：AP＝AQ．

（1）小華進行探索，若將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉得到∠EAF，使AE⊥BC，點E、F分別在邊BC、CD上，如圖2．此時她證明了AE＝AF，請你證明；

（2）由以上（1）的啟發，在原題中，添加輔助線：如圖3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F．請你繼續完成原題的證明；

（3）如果在原題中添加條件：AB＝4，∠B＝60°，如圖1，求四邊形APCQ的周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是菱形，首先證明∠B＝∠D，AB＝AD，再結合題意證明，進而證明△AEB≌△AFD，即可證明AE＝AF.

（2）根據（1）的證明，再證明△AEP≌△AFQ（ASA），進而證明AP＝AQ.

（3）根據題意連接AC，則可證明△ABC為等邊三角形，再計算AE的長度，則可計算長APCQ的周長的最小值.

（1）證明：如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，

∵∠EAF＝∠B，

∴∠EAF+∠C＝180°，

∴∠AEC+∠AFC＝180°，

∵AE⊥BC，

∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF；

（2）證明：如圖3，由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

，

∴△AEP≌△AFQ（ASA），

∴AP＝AQ；

（3）解：如圖4，連接AC，

∵∠ABC＝60°，BA＝BC＝4，

∴△ABC為等邊三角形，

∵AE⊥BC，

∴BE＝EC＝2，

同理，CF＝FD＝2，

∴AE＝ ＝2 ，

∴四邊形APCQ的周長＝AP+PC+CQ+AQ＝2AP+CP+CF+FQ＝2AP+2CF，

∵CF是定值，當AP最小時，四邊形APCQ的周長最小，

∴當AP＝AE時，四邊形APCQ的周長最小，此時四邊形APCQ的周長的最小值＝2×2+4＝4+4．